展開式通常說的是二項式定理，二項式定理又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓提出，用于給出兩個數(shù)之和的整數(shù)次冪，二項式定理可以推廣到任意實數(shù)次冪。

(a+b)的n次方展開式

二項式定理來展開，展開后是一個n+1項的多項式：

(a+b)n次方＝C(n，0)a(n次方)+C(n，1)a（n-1次方）b（1次方）+…+C（n，r）a(n-r次方)b(r次方)+…+C(n，n)b(n次方)(n∈N*)

C(n，0)表示從n個中取0個，這個公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a+b)n的二次展開式，其中的系數(shù)Cnr(r＝0，1，……n)叫做二次項系數(shù)。式中的Cnran-rbr，叫做二項展開式的通項，用Tr+1表示，即通項為展開式的第r+1項：Tr+1＝Cnraa-rbr。

說明：①Tr+1＝cnraa-rbr是(a+b)n的展開式的第r+1項。r＝0，1，2，……n。它和(b+a)n的展開式的第r+1項Cnrbn-rar是有區(qū)別的。

②Tr+1僅指(a+b)n這種標(biāo)準(zhǔn)形式而言的，(a-b)n的二項展開式的通項公式是Tr+1＝(-1)rCnran-rbr。③系數(shù)Cnr叫做展開式第r+1次的二項式系數(shù)，它與第r+1項關(guān)于某一個(或幾個)字母的系數(shù)應(yīng)區(qū)別開來。

特別地，在二項式定理中，如果設(shè)a＝1，b＝x，則得到公式：(1+x)n＝1+cn1x+Cn2x2+…+Cnrxa+…+xn。

展開式的二項式系數(shù)

二項式系數(shù)，也稱為組合數(shù)，是數(shù)學(xué)中用于表達(dá)二項式展開式的系數(shù)。

具體來說，二項式系數(shù)是表達(dá)式(1+x)^n展開后x的系數(shù)，其中n是自然數(shù)。這些系數(shù)表示從n個元素中選擇k個元素的方法數(shù)，同時也表示選擇剩余的n-k個元素的方法數(shù)。二項式系數(shù)是整數(shù)，用于多項式展開中。

二項式定理任意項公式

1、二項式定理：對于任意正整數(shù)n，都有(a+b)n=Cn0an+Cn1an?1b+?+Cnkan?kbk+?+Cnnbn。這個式子叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式，其中各項的系數(shù)Cnk(k∈0,1,2,?,n)叫做二項式系數(shù)。

2、二項展開式的通項：二項展開式的第k+1項

Tk+1=Cnkan?kbk(k∈0,1,2,?,n)叫做二項展開式的通項。

注：（1）通項是二項展開式的第k+1項，而不是第k項。

（2）字母b的指數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同，與a與b的指數(shù)之和為n。

（3）展開式中第k+1項的二項式系數(shù)

Cnk與第k+1項的系數(shù)不一定相等，只有在特殊情況下，它們的值才相等。

（4）求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項時，一般要根據(jù)通項公式對k進(jìn)行討論。

3、二項式系數(shù)的性質(zhì)

（1）對稱性

與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即

Cnm=Cnn?m(n=0,1,2,?,n)。

（2）增減性與最大值

增減性：當(dāng)k<n+12時，Cnk是逐漸增大的；當(dāng)k>n+12時，Cnk是逐漸減小的，且在中間取得最大值。

最大值：當(dāng)n是偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大，最大值為Cnn2；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)最大，最大值為Cnn?12，Cnn+12。